Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2AA1=2，sin∠ABC＝32，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面AC1D；

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2AA1=2，sin∠ABC＝32，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证：平面AC1D⊥平面B1BCC1；（3）求三棱锥B-AC1D的体积．

Answer 1

（1）证明：连接A₁C交AC₁于点O，连接OD，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，∴A₁O=OC．
又∵D是BC的中点，∴A₁B∥OD．
∵A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D．
∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥底面ABC，∴B₁B⊥AD．
又B₁B∩BC=B，∴AD⊥侧面BCC₁B₁．
∵AD?平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁．
（3）在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝

3

2

，∴∠ABD=60°．
∵AB=2，∴AD＝

3

，BD=1．
∴VB?AC1D=VC1?ABD=

1

3

S△ABD×C1C=

1

3

×

1

2

×

3

×1×1=

3

6

．