Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA1的中点．点F为棱AB上的点．

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA1的中点．点F为棱AB上的点．（Ⅰ）当点F为AB的中点时．（1）求证：EF⊥AC1；（2）求点B1到平面DEF的距离．（Ⅱ）若二面角A-DF-E的大小为π4，求AFFB的值．

Answer 1

（I）（1）∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴DF⊥AC，
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴DF⊥平面ACC₁A₁，
∴DF⊥AC₁，
∵ACC₁A₁是正方形，
∴AC₁⊥DE，
∴AC₁⊥面DEF，
∴AC₁⊥EF，即EF⊥AC₁．
（2）∵B₁C₁∥BC，BC∥DF，
∴B₁C₁∥平面DEF，
∴点在B₁到平面DEF的距离等于点C₁到平面DEF的距离，
∴DF⊥平面ACC₁A₁，
∴平面DEF⊥平面ACC₁A₁，
∵AC₁⊥DE，
∴AC₁⊥平面DEF，
设AC₁∩DE=O，
则C₁O就是点C₁到平面DEF的距离．
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，
∴AA₁C₁C是边长为2的正方形，
∴AC1＝

22+22

＝2

2

，
连接A₁C，交AC₁于O₁，
则AO₁=C₁O₁=

2

，
∵D是AC的中点，
∴OO1＝

2

2

，
∴C₁O=

3

2

2

．
（Ⅱ）当点F为AB的中点即

AF

FB

=1时，DF∥BC，∴DF⊥AC，
∵AA1⊥面ABC，
∴ED⊥DF，∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，
由AE=AD，因此∠EDA=

π

4

．
故二面角A-DF-E的大小为

π

4

时，

AF

FB

=1．