Question

两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=E

两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．（1）如图2，求当x= 1 2 时，y的值是多少？（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x= 1 2 ．∴DC=DF-FC= 7 2 ． ∵tanD= GC DC = EF DF = 3 4 ，∴GC= 21 8 ． ∴y= 1 2 （EF+GC）?FC= 45 32 ． （2）当点E运动到AB上时，如图2； ∵tanB= EF BF = AC BC = 4 3 ，∴BF= 9 4 ． ∴x=FC=BC-BF= 3 4 ． ∵DC=DF-FC= 13 4 ， GC DC = 3 4 ； ∴GC= 39 16 ． ∴y= 1 2 （EF+GC）?FC= 261 128 ． （3）本题分两种情况： ①当0＜x≤ 3 4 时，如图3；DC=4-x； ∵tanD= GC DC = EF DF = 3 4 ，∴GC=3- 3 4 x． ∴y= 1 2 （EF+GC）?FC=- 3 8 x 2 +3x． ②当 3 4 ＜x≤3时；如图4；y=S 梯形EFCG -S △EHQ ． 由①知，梯形EFCG的面积为- 3 8 x 2 +3x． ∵tanB= QF BF = AC CB = 4 3 ，BF=3-x， ∴QF=4- 4 3 x． ∴EQ=3-QF= 4 3 x-1． ∵S △DEF =6，Rt△EHQ ∽ Rt△EFD． ∴S △EHQ ：S △EFD =（EQ：ED） 2 ； ∴S △EHQ = 6 25 （ 4 3 x-1） 2 ； ∴y=S 梯形EFCG -S △EHQ =- 3 8 x 2 +3x- 6 25 （ 4 3 x-1） 2 =- 481 600 x 2 + 91 25 x- 6 25 ．