Question

已知函数f(x)＝2x+1x+1（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在

已知函数f(x)＝2x+1x+1（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大与最小值．

Answer 1

（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
f(x1)?f(x2)＝

2x1+1

x1+1

?

2x2+1

x2+1

=

(x1?x2)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数．
最大值为f(4)＝

2×4+1

4+1

＝

9

5

，最小值为f(1)＝

2×1+1

1+1

＝

3

2

．