Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）（1）求g（x）的单调区间及极小值．（2）讨论g（x）与 g( 1

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）（1）求g（x）的单调区间及极小值．（2）讨论g（x）与 g( 1 x ) 的大小关系．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx（x＞0），∴f′（x）= 1 x ； ∴g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+ 1 x （x＞0）， ∴g′（x）= 1 x - 1 x 2 = x-1 x 2 ； 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）是减函数， x＞1时，g′（x）＞0，g（x）是增函数； ∴g（x）有极小值是g（1）=1，单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）； （2）∵g（x）=lnx+ 1 x （x＞0）， ∴g（ 1 x ）=ln 1 x +x=-lnx+x（x＞0）， ∴g（x）-g（ 1 x ）=2lnx+ 1 x -x（x＞0）； 令h（x）=2lnx+ 1 x -x（x＞0）， 则h′（x）= 2 x - 1 x 2 -1= 2x-1 -x 2 x 2 = -(x-1) 2 x 2 ≤0， ∴h（x）是（0，+∞）上的减函数； 又∵h（1）=0， ∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，g（x）＞g（ 1 x ）； 当x=1时，h（x）=0，g（x）=g（ 1 x ）； x＞1时，h（x）＜0，g（x）＜g（ 1 x ）．