Question

实数x，y满足1+cos2(2x+3y?1)＝x2+y2+2(x+1)(1?y)x?y+1，则xy的最小值是______

实数x，y满足1+cos2(2x+3y?1)＝x2+y2+2(x+1)(1?y)x?y+1，则xy的最小值是______．

Answer 1

∵1+cos2(2x+3y?1)＝

x2+y2+2(x+1)(1?y)

x?y+1

，
∴1+cos2(2x+3y?1)＝

x2+y2+2x+2?2xy?2y

x?y+1

∴1+cos2(2x+3y?1)＝

(x?y)2+2(x?y)+2

x?y+1

∴1+cos2(2x+3y?1)＝

(x?y+1)2+1

x?y+1

∴1+cos2(2x+3y?1)＝(x?y+1)+

1

x?y+1

∵(x?y+1)+

1

x?y+1

≥2，或(x?y+1)+

1

x?y+1

≤?2
1≤1+cos²（2x+3y-1）≤2
故1+cos2(2x+3y?1)＝(x?y+1)+

1

x?y+1

=2
此时x-y+1=1，即x=y
2x+3y-1=kπ，即5x-1=kπ，x=

kπ+1

5

（k∈Z）
xy=x²=

(kπ+1)2

25

（k∈Z）
当k=0时，xy取得最小值

1

25

故答案为：

1

25