Question

已知定义在R上的函数f（x）对于任意的x∈R，都有f（x+2）=-f（x）成立，设an=f（n），则数列{an}中值不同

已知定义在R上的函数f（x）对于任意的x∈R，都有f（x+2）=-f（x）成立，设an=f（n），则数列{an}中值不同的项最多有______项．

Answer 1

由题设条件，（x）对于任意的x∈R，都有f（x+2）=-f（x）成立
∴f（x+2）=-f（x）=f（x-2），即T=4
因为a_n=f（n），所以a_n+4=f（n+4）=f（n）=a_n，
故a_4n+1=a₁，a_4n+2=a₂，a_4n+3=a₃，a_4n+4=a₄
∴数列{a_n}中值不同的项最多有4项
故答案为4