Question

若二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数且x∈R）．（1）若函数f（x）为偶函数，且满足f（x）=2x有两个相

若二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数且x∈R）．（1）若函数f（x）为偶函数，且满足f（x）=2x有两个相等实根，求a，b的值；（2）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求函数f（x）的表达式；（3）在（2）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）因为函数是偶函数，所以b=0，
因为f（x）=2x有两个相等实根，
即ax²+1=2x．有△=0，
所以a=1．
（2）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，
又x∈R，f（x）≥0恒成立．
∴

a＞0 △＝b2?4a≤0

，
∴b²-4（b-1）≤0，
∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1．
（3）g（x）=f（x）-kx
=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1
=（x+

2?k

2

）²+1-

(2?x)2

4

，
当

2?k

2

≥2或

2?k

2

≤?2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．