Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=DB=22AB（1）

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=DB=22AB（1）若M为PC上任一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）若四棱锥P-ABCD的体积为32，求AD长．

Answer 1

解答：（1）证明：如图，

取AD中点N，连接PN，
∵△PAD为正三角形，∴PN⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，∴PN⊥面ABCD，
又BD?面ABCD，∴PN⊥BD，
在△ABD中，∵AD=BD=

2

2

AB，
∴AD2+BD2＝(

2

2

AB)2+(

2

2

AB)2＝AB2
∴BD⊥AD，
又AD∩PN=N，∴BD⊥面PAD．
又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．
（2）解：设AD=x，则AB=

2

x，
过D作DG⊥AB于G，
∵△ADB为等要直角三角形，∴DG＝

2

2

x．
∴S四边形ABCD＝AB×DG＝

2

x?

2 x

2

＝x2．
在等边三角形PAD中，PN=

3 x

2

．
由VP?ABCD＝

1

3

×SABCD×PN=

1

3

x2?

3 x

2

＝

3

2

，得：x=

3

．
即AD=

3

．