Question

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为______．

Answer 1

∵y=f（x+1）为偶函数
∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=1对称
∴f（2）=f（0）
又∵f（2）=1
∴f（0）=1
设g(x)＝

f(x)

ex

（x∈R），则g′(x)＝ 

f′(x)ex?f(x)ex

(ex)2

＝

f′(x)?f(x)

ex

又∵f′（x）＜f（x）
∴f^′（x）-f（x）＜0
∴g^′（x）＜0
∴y=g（x）单调递减
∵f（x）＜e^x
∴

f(x)

ex

＜1
即g（x）＜1
又∵g(0)＝

f(0)

e0

＝1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）