Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC

如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F．（1）求证：BC=FC；（2）若AD：AE=2：1，求cot∠F的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD．（1分） ∵BE是直径， ∴∠BDE=90°， ∴∠EBD=90°-∠BED． ∵∠EBF=90° ∴∠F=90°-∠BEF． ∴∠F=∠EBD．（2分） ∵⊙O切AC于D， ∴∠EBD=∠ADE=∠CDF． ∴∠F=∠CDF． ∴CD=CF，（3分） ∵OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线， 由切线长定理可知：CD=CB． ∴BC=FC．（4分） （2）在△ADE和△ABD中， ∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABD， ∴△ADE ∽ △ABD．（6分） ∴ AE AD = DE BD ， ∵AD：AE=2：1． ∴BD：DE=2：1， 又∵∠F=∠EBD． ∴cot∠F=cot∠EBD= BD DE =2．（9分）