Question

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．（1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．（3）当BE=CD时，分别求出线段BD、CE、DE的长，并通过计算验证BD 2 +CE 2 =DE 2 ．（4）在旋转过程中,（3）中的等量关系BD 2 +CE 2 =DE 2 是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）△ABE与△DCA会相似， 理由是∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA   又∵∠B=∠C=45° ∴△ABE∽△DCA； （2）∵△ABE∽△DCA， ∴ 由题意可知CA=BA= ∴ ， ∴m= （1＜n＜2）； （3）当BE=CD，即m=n时， 由m= ，得m=n= ∴DE=BE+CD﹣BC=2 ﹣2， ∵BD=BE﹣DE=2﹣ =CE， ∴BD 2 +CE 2 =2BD 2 =2（2﹣ ） 2 =12﹣8 ， DE 2 =（2 ﹣2） 2 =12﹣8 ∴BD 2 +CE 2 =DE 2 ； （4）成立证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置， 则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°． 连接HD，在△EAD和△HAD中 ∵AE=AH，∠HAD=∠EAH﹣∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD． ∴△EAD≌△HAD   ∴DH=DE 又∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD 2 +HB 2 =DH 2 ，即BD 2 +CE 2 =DE 2 ．