Question

已知函数f（x）=ex（Ⅰ）当x＞0时，设g（x）=f（x）-（a+1）x（a∈R）．讨论函数g（x）的单调性；（Ⅱ）

已知函数f（x）=ex（Ⅰ）当x＞0时，设g（x）=f（x）-（a+1）x（a∈R）．讨论函数g（x）的单调性；（Ⅱ）证明当x∈[12，1]时，f（x）＜x2+x+1．

Answer 1

（Ⅰ）g（x）=e^x-（a+1）x，g′（x）=e^x-（a+1）．
当x＞0时，e^x＞1，故有：
当a+1≤1，即a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）≥0；
当a+1＞1，即a＞0时，由e^x=a+1，解得x=ln（1=a+1）．
令g′（x）＞0，得x＞ln（a+1）；令g′（x）＜0，得0＜x＜ln（a+1），
综上，当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，g（x）在（0，ln（a+1））上是减函数，在（ln（a+1），+∞）上是增函数．
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-（x²+x+1），则h′（x）=e^x-2x-1，
令m（x）=e^x-2x-1，则m′（x）=e^x-2，
∵x∈[

1

2

，1]，∴当x∈[

1

2

，ln2)时，m′（x）＜0，m（x）在[

1

2

，ln2)上是减函数；
当x∈（ln2，1]时，m′（x）＞0，m（x）在（ln2，1]上是增函数．
又m(

1

2

)=

e

?2＜0，m（1）=e-3＜0，∴当x∈[

1

2

，1]时，恒有m（x）＜0，即h′（x）＜0．
∴h（x）在[

1

2

，1]上为减函数，即当x∈[

1

2

，1]，h(x)≤h(

1

2

)＝

e

?

7

4

＜0．
∴f（x）＜x²+x+1．