Question

已知函数f（x）=-x+log21?x1+x．（1）求f（12012）+f（-12012）的值；（2）当x∈（-a，a]，其中a∈（0，1

已知函数f（x）=-x+log21?x1+x．（1）求f（12012）+f（-12012）的值；（2）当x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常数，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由

1?x

1+x

＞0可得-1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
又f（-x）=x+log₂ 

1+x

1?x

=x-log₂

1?x

1+x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数，即f（-x）+f（x）=0，
∴f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）=0．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₂）-f（x₁）=（-x₂+x₁）+log2

1?x2

1+x2

-log2

1?x1

1+x1

，
由题设可得 （-x₂+x₁）＜0，

1?x1

1+x1

＞

1?x2

1+x2

，∴log₂

1?x1

1+x1

＞log₂

1?x2

1+x2

，
∴（-x₂+x₁）+log2

1?x2

1+x2

-log2

1?x1

1+x1

＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）在其定义域（-1，1）上是减函数．
x∈（-a，a]，其中a∈（0，1]，a是常数，
故函数f（x）在（-a，a]上是减函数，故当x=a时，函数取得最小值为-a+log2

1?a

1+a

．