Question

已知数列{an}是一个公差不为0等差数列，且a2=2，并且a3，a6，a12成等比数列，则1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1an

已知数列{an}是一个公差不为0等差数列，且a2=2，并且a3，a6，a12成等比数列，则1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=nn+1nn+1．

Answer 1

∵数列{a_n}是一个公差不为0等差数列，且a₂=2，并且a₃，a₆，a₁₂成等比数列，
∴a₆²=a₃?a₁₂，
∴（2+4d）²=（2+d）（2+10d），
∵d≠0，∴d=1．
∴a_n=2+（n-2）=n，
∴

1

anan+1

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案为：

n

n+1

．