Question

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2n?(an+2)，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比数列，得
（2+2d）²-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，
当d=-1时，a₃=0，与a₂，a₃，a₄+1成等比数列矛盾，舍去．
∴d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
即数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（Ⅱ）由a_n=2n，得
b_n=

2

n?(an+2)

=

2

n(2n+2)

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+1

=

n

n+1

．