Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图①，当AC=BC时，求证：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图①，当AC=BC时，求证：DE=AD+BE；（2）如图②，当AC：BC=2：1时，（1）中的等量关系是否成立．若成立，请说明理由，若不成立，写出DE，AD，BE具有的等量关系，并证明你的结论；（3）当AC：BC=k时，直接写出DE，AD，BE具有的等量关系．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB．
在△ADC和△CEB中，

∠ADC＝∠BEC ∠DAC＝∠ECB AC＝BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE．
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD；

（2）如图2，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB．
∴△ADC∽△CEB，
∴

AD

CE

＝

AC

CB

＝

DC

EB

．
∵AC：BC=2：1，
∴DC=2EB，AD=2CE，
∴CE=

1

2

AD．
∵DE=DC+CE，
∴DE=2BE+

1

2

AD；

（3）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB．
∴△ADC∽△CEB，
∴

AD

CE

＝

AC

CB

＝

DC

EB

．
∵AC：BC=k，
∴DC=kEB，AD=kCE，
∴CE=

1

k

AD．
∵DE=DC+CE，
∴DE=kBE+

1

k

AD．