Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为3直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为3直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为43．（1）求抛物线的方程；（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

Answer 1

（1）解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），
∴过F且斜率为

3

直线方程为y=

3

(x-

p

2

)，
联立

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

，得12x²-20px+3p²=0，
解得x=

3

2

p，或x=

p

6

，
∵直线与抛物线在x轴上方的交点为M，
∴M（

3

2

p，

3

p），
∵过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，四边形OFMN的面积为4

3

，
∴

1

2

(

p

2

+

3p

2

)×

3

p=4

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