Question

若椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e为35，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合．（1）求

若椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e为35，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

Answer 1

（1）由题意可得：抛物线y²=-12x的焦点（-3，0），
∵e＝

c

a

=

3

5

，∴a=5，∴b＝

a2?c2

=4
∴椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

＝1；
（2）设Q（x，y），-5≤x≤5
∴|MQ|²=（x-2）²+y²=

9

25

x2?4x+20
∵对称轴为x=

50

9

＞5，∴x=5时，|MQ|²取得最小值
∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=k（x-m）
直线代入椭圆方程，消去y可得（25k²+16）x²-50mk²x+25m²k²-400=0
∴x₁+x₂=

50mk2

25k2+16

，x₁x₂=

25m2k2?400

25k2+16

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2km=-

32mk

25k2+16

，y₁y₂=

(16m2?400)k2

25k2+16

∴|PA|²+|PB|²=(x1?m)2+y12+(x2?m)2+y22=（k²+1）?

(512?800k2)m2+800(25k2+16)

(25k2+16)2

∵|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，
∴512-800k²=0，解得k=±

4

5

．