已知:△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点

已知:△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.(1)如图1,若A、O、C三点... 已知:△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.(1)如图1,若A、O、C三点在同一直线上,且∠ABO=60°,则△PMN的形状是______,此时ADBC=______;(2)如图2,若A、O、C三点在同一直线上,且∠ABO=2α,证明△PMN∽△BAO,并计算ADBC的值(用含α的式子表示);(3)在图2中,固定△AOB,将△COD绕点O旋转,直接写出PM的最大值. 展开
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芷尤萍4762
2014-12-04 · 超过63用户采纳过TA的回答
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(1)连接BM,CN,
∵△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=60°,
∴△AOB与△COD是等边三角形,
又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点,
∴BM⊥AC,CN⊥BD,∠MBO=
1
2
∠ABO=∠NCO=
1
2
∠OCD=30°,
∴PM=PN=
1
2
BC,
∴∠PBM=∠PMB,∠PCN=∠PNC,
∵∠BAO=∠DCO=60°,
∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°,
∴∠BPM+∠NPC=360°-2(∠MBP+∠BCN)=120°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形,
∴PM=PN=MN,
∵AD=2MN,BC=2PM,
AD
BC
=1.

(2)证明:连接BM、CN.
由题意,得BM⊥OA,CN⊥OD,∠AOB=∠COD=90°-α.
∵A、O、C三点在同一直线上,
∴B、O、D三点在同一直线上.
∴∠BMC=∠CNB=90°.
∵P为BC中点,
∴在Rt△BMC中,PM=
1
2
BC

在Rt△BNC中,PN=
1
2
BC

∴PM=PN.
∴B、C、N、M四点都在以P为圆心,
1
2
BC
为半径的圆上.
∴∠MPN=2∠MBN.
又∵∠MBN=
1
2
∠ABO=α

∴∠MPN=∠ABO.
∴△PMN∽△BAO.
MN
PM
AO
BA
.由题意,MN=
1
2
AD
,又PM=
1
2
BC

AD
BC
MN
PM

AD
BC
AO
BA

在Rt△BMA中,
AM
AB
=sinα

∵AO=2AM,
AO
BA
=2sinα

AD
BC
=2sinα


(3)
5
2

当OC∥AB时,即四边形ABCO是梯形时,PM有最大值.
PM=(AB+CD)÷2=(2+3)÷2=
5
2

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