Question

在数列{an}中，已知a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{ an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通

在数列{an}中，已知a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{ an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2（an+1），{bn}的前n项和为Sn，求证1S1+1S2+1S3+…+1Sn＜2．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
又∵a₁=1，a₂=3，即a₂-a₁=2，
所以，{ a_n+1-a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．…（3分）
a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ，…（4分）
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=

1?2n

1?2

=2ⁿ-1；…（7分）
（Ⅱ）b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，…（8分）
S_n=

n(n+1)

2

，…（9分）

1

Sn

＝

2

n(n+1)

＝2(

1

n

?

1

n+1

)，
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＝2[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]
=2(1?

1

n+1

)＜2．…（14分）