Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE． （1）

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE． （1）直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）若AC= ，⊙O的半径为1，求CD的长及由弧BC、线段BD、CD所围成的阴影部分的面积．

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Answer 1

（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2） ， .

试题分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠COD=60°，所以∠OCD=90°，从而得证； （2）利用“切割法”解答，即S 阴影 =S△ OCD -S 扇形OCB ． 试题解析：（1）CD是⊙O的切线．理由如下： ∵DC=AC，∠CAB=30°， ∴∠CAD=∠CDA=30°（等边对等角）． 连接OC． ∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）． 在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°， ∴∠DCO=90°． 又∵点C在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切； （2）连接BC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）． ∵∠CAB=30°， ∴∠COD=2∠CAB=60°，OC= AB=1， ∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°= ， ∴S 阴影 =S△ OCD -S 扇形OCB = ×1× - =  ． 考点: 1.切线的判定；2.扇形面积的计算.