一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。(1)若m为常数

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)若m为小于0的常数,那么(1... 一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。 展开
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祥的经65
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解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m) 2 -4a,
∵ AC⊥BC,
由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,
又AB=4,
∴C(m,-2),
代入解析式得
∴抛物线的解析式为:y=
(亦可先求C点,设顶点式求解)
(2)∵m为小于零的常数,
∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线 顶点在坐标原点;
(3)由(1)得 ,设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形,
∵△BOD直角三角形,且∠BOD=90°,
∴只能有OD=OB,

当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍去),
当m+2<0时,解得m=0(舍去)或m=-2(舍去);
当m+2=0,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍去),
综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形。

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