Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
（1）若m为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点；
（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)
∵ 抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点
∴抛物线方程可设为：
y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x²-2mx+m²-4) 【a>0】
对称轴为：x=m，顶点坐标为：C（m,-4a)
∵ AC⊥BC
∴ (-4a-0)/(m-(m-2)) * (-4a-0)/(m-(m+2))=-1
得a=1/2，或a=-1/2（舍去）
则 抛物线的解析式为：y=1/2x²-mx+m²/2-2
(2)
此时 抛物线的顶点坐标为：（m，-2） 【m<0】
∴要使顶点坐标在原点须向上平移2 向右平移 -m
(3) ∵∠BOD为直角
∴要使△BOD为等腰三角形，须|OB|=|OD|
B点坐标为（m+2,0） 所以 |OB|=|m+2|
y=1/2x²-mx+m²/2-2
令x=0 则y=m²/2-2，即|OD|=|m²/2-2|
由|m²/2-2|=|m+2|
得|m+2|*(|m-2|/2-1|=0
即m=-2 此时|OB|=|OD|=0 为一个点，不构成三角形，舍去。
或|m-2|=2
即 m=4 或m=0