Question

已知函数f（x）=（sinx-cosx）?2cosx．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将f（x）按向量

已知函数f（x）=（sinx-cosx）?2cosx．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将f（x）按向量 a 平移后图象关于原点对称，求当 | a | 最小时的 a ．

Answer 1

（1）f（x）=（sinx-cosx）?2cosx=2sinxcosx-2cos 2 x =sin2x-cos2x-1= 2 sin（2x- π 4 ）-1，（2分） 所以f（x）的最小正周期T= 2π 2 =π．（3分） 由 2kπ- π 2 ≤2x- π 4 ≤2kπ+ π 2 ，(k∈Z) 得 kπ- π 8 ≤x≤kπ+ 3π 8 ，x≠kπ(k∈Z) 所以f（x）的单调递增区间为 [kπ- π 8 ，kπ+ 3π 8 ]，(k∈Z) ．（5分） （2）设 a =(m，n) ，则f（x）按 a 平移后得 y= 2 sin[2(x-m)- π 4 ]-1+n = 2 sin(2x-2m- π 4 )-1+n （7分） 因为该函数的图象关于原点对称，所以 -2m- π 4 =kπ，k∈Z n-1=0 ，? m=- kπ 2 - π 8 ，k∈Z n=1 （9分） 当 | a | 最小时， a =(- π 8 ，1) …（10分）