设f′（x）=arcsin（x-1）2，f（0）=0，计算∫ 1 0f(x)dx
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因为f（0）=0，所以
f（x）=
f′(t)dt，
从而，
原积分=
dx
f′(t)dt=
f′(t)dxdt，
其中D={（x，t）|0≤t≤x≤1}．
交换积分次序可得，
原积分=
f′(t)dt
dx
=
arcsin(t?1)2?(1?t)dt
=?
arcsin(t?1)2d((t?1)2)．
令u=（t-1）2，并利用分部积分法计算可得，
原积分=?
arcsinudu
=
arcsinudu
=
[uarcsinu
?
du]
=
[
+
f（x）=
| ∫ | x 0 |
从而，
原积分=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | x 0 |
| ? |
| D |
其中D={（x，t）|0≤t≤x≤1}．
交换积分次序可得，
原积分=
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 t |
=
| ∫ | 1 0 |
=?
| 1 |
| 2 |
| ∫ | 1 0 |
令u=（t-1）2，并利用分部积分法计算可得，
原积分=?
| 1 |
| 2 |
| ∫ | 0 1 |
=
| 1 |
| 2 |
| ∫ | 1 0 |
=
| 1 |
| 2 |
| | | 1 0 |
| ∫ | 1 0 |
| u | ||
|
=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 1?u2 |
| | | 1 0
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