Question

已知函数f（x）=ex-e-x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的奇函数；（2）若函数g（x）=e2

已知函数f（x）=ex-e-x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的奇函数；（2）若函数g（x）=e2x+e-2x-6f（x），求g（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

解答：（1）证明：函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）=e^x-e^-x，
∴f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数
（2）解：函数g（x）=e^2x+e^-2x-6f（x）=（e^x-e^-x）²+2-6f（x）=[f（x）]²-6f（x）+2，
不妨令t=f（x），则g（x）=t²-6t+2，易知g（x）在t∈（-∞，3）单调递减，
由f′（x）=e^x+e^-x＞0可知f（x）在R上为单调递增函数，
所以f（x）在[0，1]上亦为单调递增函数，
从而t∈[f（0），f（1）]=[0，e-

1

e

]?（-∞，3），
所以g（x）的最大值在t=f（0）=0处取得，
即g(x)max＝(0?3)2?7＝2．