Question

1╱√1＋x²的原函数

1╱√1＋x²的原函数.急用，谢谢。

Answer 1

令x=tanu , u∈(-π/2, π/2)
则dx=sec²udu
原函数=∫1/secu *sec²udu
=∫secudu
=∫1/cosu du
=∫cosu/cos²u du
=∫d(sinu)/(1-sin²u)
=1/2∫d(sinu)[1/(1-sinu)+1/(1+sinu)]
=1/2ln[(1+sinu)/(1-sinu)]+C
=ln|(1+sinu)/cosu|+C
=ln|(1+x/√(x²+1))/(1/√(x²+1))|+C
=ln|(x+√(x²+1)|+C

Answer 2

x=tant dx=sec^2tdt
∫dx/√(1+x^2)=∫sec^2tdt/sect
=∫sectdt
=ln|sect +tant|+C
=ln|x+√(1+x^2)|+C

或：x=sh t dx=cht dt
∫dx/√(1+x^2)=∫cht dt/ch t=∫dt=arsh x+C=ln|x+√(1+x^2)|+C

注：第二法最简洁。

Answer 3

x=tant dx=sec^2tdt
∫dx/√(1+x^2)=∫sec^2tdt/sect
=∫sectdt
=ln|sect +tant|+C
=ln|x+√(1+x^2)|+C