Question

链式法则是什么意思？

Answer 1

微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将为构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，称链式法则。

链式法则在积分中的应用：

链式法则：

我们在写这个公式时，常常习惯用u来代替g，即：

如果换一种写法，就是让：

就可得：

这样就可以直接将dx消掉。

扩展资料

例题

求导y=sin（x²+1）链式求导：令f（x）=sinx，g（x）=x²+1

则（f（g（x）））’=f’（g（x））g’（x）=[sin（x²+1）]’·2x=2cos（x²+1）x即可求得。

在实际应用中，可将dy/dx=（dy/dz）·（dz/dx）看作为分数的约分过程，这种用法在求不定积分中会更广泛地使用。这个结论可推广到任意有限个函数复合到情形，于是复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。

参考资料来源：百度百科-不定积分

参考资料来源：百度百科-链式法则

Answer 2

链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。

扩展资料：

求导

链式求导：令

则

即可求得。在实际应用中，可将

看作是分数的约分过程，这种用法在求不定积分中会更广泛地使用。

Answer 3

链式法则（英文chain rule）是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中最常用的方法。

Answer 4

式法则（英文chain rule）是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中最常用的方法。

中文名：链式法则
外文名：chain rule
应用学科：数学
适用领域范围：微积分
适用领域范围：微分（求导）
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内容

表达式：

其他形式：

【链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数。】

例题：求导

链式求导：令

则

即可求得。

在实际应用中，可将看作是分数的约分过程（虽然链式求导本质上不能等同于分式约分，但是实际操作中两者的结果相同，不能算错，所以放心大胆地去用吧，老师不会打叉），这种用法在求不定积分中会更广泛地使用。

证明

下面介绍一种最简单的证明方法：

链式法则的最简单的证明方法是用积法则和归纳法进行证明。

微积分的求导积法则：

剩下只需要把原函数代入积法则即可求证。

以下再介绍两种较为复杂的方法：

证法一：先证明个引理

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)

所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)

引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α*lim(Δu->0),(α=0)

当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

又因为Δx≠0,用Δx除等式两边，且求Δx->0的极限，得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

则lim(Δx->0)α=0

最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)