Question

高等数学微分方程问题

1。已知y=1，y=x，y=x²，
是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为————？
2，函数y1（x），y2（x）是微分方程y’+p（x）=0的两个不同特解，则该方程的通解为——————？
3，设函数y1，y2，y3，都是线性非其次方程y”+p（x）y’+q（x）=0的两个不同特解，则函数y=（1-c1-c2）y1+c1y2+c2y3（c1，c2为任意常数），则
可能是方程的通解，但不一定是其特解，
为什么呢？

以上三道题麻烦大家帮我解释下，没有思路啊
很着急

Answer 1

1。已知y=1，y=x，y=x²，
是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为————？
解：1-x，1-x^2是相应的齐次线性微分方程的解，两者线性无关，所以这个二阶齐次线性微分方程的通解是C1(1-x)+C2(1-x^2),于是
1+C1(1-x)+C2(1-x^2)是这个二阶非齐次线性微分方程的通解。

2，题目改为二阶：
函数y1（x），y2（x）是微分方程y”+p（x）=0的两个不同特解，则该方程的通解为——————？
解：若y1(x),y2(x)线性无关，则C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解。
若y1(x),y2(x)线性有关，则需继续解下去。

3.设函数y1，y2，y3，都是线性非其次方程y”+p（x）y’+q（x）=0的三个不同特解，则函数（c1，c2为任意常数），则
可能是方程的通解，但不一定是其特解。
解：y=（1-c1-c2）y1+c1y2+c2y3
=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1),
易知其中y2-y1,y3-y1是对应的y"+p(x)y'=0的特解，
若两者是线性无关的，
则c1(y2-y1)+c2(y3-y1)是y"+p(x)y'=0的通解。所以y=（1-c1-c2）y1+c1y2+c2y3可能是方程
y”+p（x）y’+q（x）=0的通解。