Question

计算I=∫Le^根号下x²+y²ds,L是从A(0,0)到B(a,0)，再沿x²＋y²＝a²到C((√2/2)a，

计算I=∫Le^根号下x²+y²ds,L是从A(0,0)到B(a,0)，再沿x²＋y²＝a²到C((√2/2)a，(√2/2)a)，然后沿直线y＝x到A(0,0)曲线(a＞0)，这个(√2/2)怎么来的？
我的原题，我想问的是二分之根号而怎么来的

Answer 1

答：2(e^a - 1) + (πae^a)/4

A(0,0)到B(a,0)，再沿着x²+y²=a²到C(a/√2,a/√2)
再沿着y=x回到A(0,0)
这个L围成的区域是个扇形区域，在第一象限
L=L1+L2+L3
L1：y=0,dy=0,ds=dx，由x=0到x=a
L2：x²+y²=a²,x=acost,y=asint,ds=√(x'²+y'²)dt=adt，由t=0到t=π/4
L3：y=x,dy=dx,ds=√(1+y'²)dx=√(1+1)dx=√2dx，由x=0到x=a/√2
∫_(L) e^√(x²+y²) ds
= [ ∫_(L1)+∫_(L2)+∫_(L3) ] e^√(x²+y²) ds
= ∫(0,a) e^x dx + ∫(0,π/4) e^a*adt + ∫(0,a/√2) e^(√2x)*√2dx
= (e^a-1) + ae^a*π/4 + [e^(√2*a/√2)-1]
= e^a-1+(πae^a)/4 + e^a-1
= 2(e^a - 1) + (πae^a)/4

追问

我原题是这样的，我想问的是二分之根号二怎么来的

追答

按照你说的，图像应该是这样

不用理会坐标轴的数字，这是方便作图而已

1/√2有理化就是√2/2