Question

计算I=∫Le^根号下x²+y²ds,L是从A(0,0)到B(a,0)，再沿x²＋y²＝a²到C((√2/2)a，

Answer 1

答：2(e^a
-
1)
+
(πae^a)/4
A(0,0)到B(a,0)，再沿着x²+y²=a²到C(a/√2,a/√2)
再沿着y=x回到A(0,0)
这个L围成的区域是个扇形区域，在第一象限
L=L1+L2+L3
L1：y=0,dy=0,ds=dx，由x=0到x=a
L2：x²+y²=a²,x=acost,y=asint,ds=√(x'²+y'²)dt=adt，由t=0到t=π/4
L3：y=x,dy=dx,ds=√(1+y'²)dx=√(1+1)dx=√2dx，由x=0到x=a/√2
∫_(L)
e^√(x²+y²)
ds
=
[
∫_(L1)+∫_(L2)+∫_(L3)
]
e^√(x²+y²)
ds
=
∫(0,a)
e^x
dx
+
∫(0,π/4)
e^a*adt
+
∫(0,a/√2)
e^(√2x)*√2dx
=
(e^a-1)
+
ae^a*π/4
+
[e^(√2*a/√2)-1]
=
e^a-1+(πae^a)/4
+
e^a-1
=
2(e^a
-
1)
+
(πae^a)/4