Question

求tanx-arctanx的等价无穷小

Answer 1

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。因此常量也是可以当做变量来研究的。这么说来——0是唯一可以作为无穷小的常数。

①等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换），比如mf(x)+ng(x),只有f(x)/g(x)的极限不是-n/m时，才可进行等价无穷小代换

②上各式中的x可以是f(x)也可以新变量t，如 f(x)→0，sin(f(x))~f(x)仍成立。

由于本题符合①所以，用泰勒展开：

即tanx=x+x³/3+2x^5/15+17x^7/315+....
arctanx=x-x³/3 + x^5/5 - x^7/7 +....
tanx-arctanx=(2/3)x³-(1/15)x^5+.....
因此，tanx-arctanx的等价无穷小为(2/3)x³

Answer 2

泰勒展开：
tanx=x+x³/3+2x^5/15+17x^7/315+....
arctanx=x-x³/3 + x^5/5 - x^7/7 +....
tanx-arctanx=(2/3)x³-(1/15)x^5+.....
因此等价无穷小为(2/3)x³