Question

求解线性代数题

1．设向量α在标准正交基ε1,ε2,ε3下的坐标为(1,-1,2)，求内积(α,ε1-2*ε2-3*ε3)。

2．设W为P^3*3中全体反对称矩阵构成的集合，证明W是P^3*3的子空间，并求W的维数与一组基。

3．设V是n维欧式空间，α,β≠0是V中固定向量且线性无关，证明V1={x｜(x,α)=(x,β)=0}是V的子空间，且dim(V1)=n-2。

Answer 1

a=(ε1,ε2,ε3)(1,-1,2)’
b=(ε1,ε2,ε3)(1,-2,-3)’
(a,b)=a'b= (1,-1,2)[(ε1,ε2,ε3)'(ε1,ε2,ε3)](1,-2,-3)’
=(1,-1,2)I(1,-2,-3)’
=(1,-1,2)(1,-2,-3)’
=-4

a,b∈W -> a+a'=b+b'=0
k1,k2∈R ->
(k1a+k2b)+(k1a+k2b)'=(k1a+k1a')+(k1b+k2b')+ =0+0=0
∴ (k1a+k2b)∈W
e(12),e(13),e(2,3)即W的一组基；W为3维空间。

取定V的一组基：e1,e2,...,en，有：
任意 x=(e1,e2,...,en)c
如：(x,α)=(x,β)=0 Ac=0
(α,β) = (e1,e2,...,en)(a,b)=(e1,e2,...,en) A(n,2)'
由 α,β≠0是V中固定向量且线性无关，故 r(A）=2
则: Ax=0 基础解系 x1,x2,...,x(n-2) 秩为n-2；
(e1,e2,...,en)( x1,x2,...,x(n-2)) 为 V1 的一组基；
dim(V1)=n-2

Answer 2

两向量组等价，则可以相互线性表示。
向量组(2)的每一个向量可以由向量组(1)线性表示，设βi=Ki1α1+Ki2α+.......+Kirαr，i=1,2,...,s，所以方程组(4)的第i个方程是由方程组(3)的第一个乘以Ki1，第二个方程乘以Ki2，....，第r个方程乘以Kir，相加所得。所以方程组(3)的解是方程组(4)的解。
同理，向量组(1)的每一个向量可以由向量组(2)线性表示，所以方程组(4)的解也会是方程组(3)的解。
所以两个方程组同解。