Question

求解一个数学题目

已知函数f(x)的第一域为(-1,1),对任意x,y属于(-1,1)都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)] 且当x属于(-1,0)时,有f(x)大于零
(1)求f(0)的值并判断函数f(x)的奇偶性
(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并解关于x的不等式f(x*x-a)>0
"第一域"为定义域" 不好意思

Answer 1

解：（1）令X=0,Y=0，由已知有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0
令y=-x，可得f(x)+f(-x）=f(0)，即f(-x)=- f(x)，
∴f(x)为奇函数
（2）因为f(x)为奇函数，且当x∈（-1，0）时，f（x）>0
故当x∈（0，1）时，f（x）<0
不妨令x>-y, 则f(x)+f(y)=f(x)-f(-y)=f[(x+y)/(1+xy)]
易得x+y>0【∵x>-y】，1+xy>0【∵x,y∈(-1,1），∴xy∈(-1,1）】
∴(x+y)/(1+xy) > 0 ∴f[(x+y)/(1+xy)]<0
即当x>-y时 f(x)-f(-y) =f[(x+y)/(1+xy)]<0
得f(x)在(-1,1)上的是减函数

∵当x∈(-1,0)时,f(x)>0,当x∈(0,1)时,f(x)<0
故原不等式等价于 -1< x*x-a<0
讨论：
1.当a≤0时，∵x*x≥0 ∴x*x-a≥0 无解
2.当0<a<1时,x*x-a恒大于-1 故不等式的解为（-√a，√a）
3.当a≥1时，解不等式得其解为（-√a，-√（a-1））∪（√（a-1），√a）

Answer 2

解：（1）当X,Y都为0时，f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0
当y=-x时，f(x)+f(-x）=f(0)，所以f(x)= -f(-x)，所以f(x)为奇函数
（2）因为f(x)为奇函数
所以f(x)+f(y)=f(x)-f(-y)
令x>-y, 则f(x)-f(-y)=f[(x+y)/(1+xy)]=f[(x-（-y）)/(1- x（-y）)]
因为f(x)在(-1,1)，所以1- x（-y）> 0
所以[(x-（-y）)/(1- x（-y）)] > 0
而当x属于(-1,0)时,有f(x)大于零
所以，f(x)-f(-y) > 0
得f(x)在(-1,1)上的是增函数

当x属于(-1,0)时,有f(x)大于零，且f(x)为奇函数
又不等式要满足定义域，则-1 < x*x-a < 0 (x平方是这样写的x^2)
得 a-1 < x^2 < a
得到正负2个范围。。自己写吧