Question

广义积分运算

请问大家这道题需要用柯西积分解吗？求详细过程谢谢！

Answer 1

原函数可以求出来的:
∫ x²/(x²+1)(x²+4) dx
= 1/3·∫ (4(x²+1)-(x²+4))/(x²+1)(x²+4) dx
= 4/3·∫ 1/(x²+4) dx -1/3·∫ 1/(x²+1) dx
= 2/3·arctan(x/2)-1/3·arctan(x)+C.
不妨取C = 0, 则原函数在0处得0, 而x → +∞时收敛到π/6.

追问

如果不用原函数求，还可以用什么方法吗

追答

用复变里的留数定理也行:
被积函数在上半平面有两个单极点i和2i, 留数分别为i/6和-i/3.
用半圆围道积分和一些讨论可以算得:
∫{-∞,+∞} x²/(x²+1)(x²+4) dx = π/3.
再由对称性得∫{0,+∞} x²/(x²+1)(x²+4) dx = π/6.