Question

高一 数学 数学题！

已知a,b,c为两两不相等的正实数，求证：a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 1

直接法：因为abc为两两不相等的正实数
1,a^2+b^2-2ab>0
2,b^2+c^2-2bc>0 （完全平方公式）
3,a^2+c^2-2ca>0
当且仅当a=b=c时等号成立，因为abc为两两不相等的正实数，所以上式成立
将三式相加可得：2（a^2+b^2+c^2）>2（ab+bc+ca ）
即：a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

间接法：要证：a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca
即证：2（a^2+b^2+c^2）>2（ab+bc+ca ）
因为a^2+b^2-2ab>0，b^2+c^2-2bc>0，a^2+c^2-2ca>0
所以 2（a^2+b^2+c^2）>2（ab+bc+ca ）
所以a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 2

a^2+b^2+c^2
=1/2(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)
>=1/2(2ab+2ca+2bc)
=ab+bc+ca
（当a=b=c是取等号）
又abc两两不等
故a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

Answer 3

证明：
∵a²＋b²≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立
a²＋c²≥2ac 当且仅当a=c时，等号成立
c²＋b²≥2cb 当且仅当c=b时，等号成立
∴a²＋b²＋c²
=1／2×（2a²＋2b²＋2c²）
=1／2×[（a²＋b²）＋（a²＋c²）＋（c²＋b²）]
≥1／2×（2ab＋2ac＋2cb）
=ab＋ac＋cb 当且仅当a=b=c时等号成立。

Answer 4

完全平方公式