Question

已知数列an是公差不为0的等差数列,a1=2且a2、a4、a8成等比数列. 1.求数列an的通项公

已知数列an是公差不为0的等差数列,a1=2且a2、a4、a8成等比数列.
1.求数列an的通项公式;2求数列an●3^an的前n项和.求解

Answer 1

解：
(1)
设公差为d，则d≠0
a2、a4、a8成等比数列，则a4²=a2·a8
(a1+3d)²=(a1+d)·(a1+7d)
整理，得d²-a1d=0
a1=1代入，得d²-d=0
d(d-1)=0
d=0(舍去)或d=1
an=a1+(n-1)d=1+1·(n-1)=n
数列{an}的通项公式为an=n
(2)
an·3^(an)=n·3ⁿ
Sn=a1+a2+a3+...+an=1·3+2·3²+3·3³+...+n·3ⁿ
3Sn=1·3²+2·3³+...+(n-1)·3ⁿ+n·3^(n+1)
Sn-3Sn=-2Sn=3+3²+3³+...+3ⁿ-n·3^(n+1)
=3·(3ⁿ-1)/(3-1) -n·3^(n+1)
=[(1-2n)/2](3^(n+1) -3/2
Sn=[(2n-1)·3^(n+1) +3]/4

追问

可是a1=2

追答

哦，没注意，改一下：
解：
(1)
设公差为d，则d≠0
a2、a4、a8成等比数列，则a4²=a2·a8
(a1+3d)²=(a1+d)·(a1+7d)
整理，得d²-a1d=0
a1=2代入，得d²-2d=0
d(d-2)=0
d=0(舍去)或d=2
an=a1+(n-1)d=2+2·(n-1)=2n
数列{an}的通项公式为an=2n
(2)
an·3^(an)=2n·3^(2n)=2n·9ⁿ
Sn=a1+a2+a3+...+an=2·(1·9+2·9²+3·9³+...+n·9ⁿ)
9Sn=2·[1·9²+2·9³+...+(n-1)·9ⁿ+n·9^(n+1)]
Sn-9Sn=-8Sn=2·[9+9²+9³+...+9ⁿ-n·9^(n+1)]
-4Sn=9+9²+9³+...+9ⁿ-n·9^(n+1)
=9·(9ⁿ-1)/(9-1) -n·9^(n+1)
=[(1-8n)·9^(n+1) -9]/8
Sn=[(8n-1)·9^(n+1) +9]/32