Question

liman=a求证lim[(a1+a2···+an)/n]=a

答案：
这题用极限的定义做
由lim [(n→+∞)，An]＝a
则对任意的 ε＞0，存在正整数 N＞0 使得当 k＞N 时有 ｜Ak-a｜＜ε，
现在我们来证明：

由｜Ak-a｜＜ε，得a-ε＜Ak＜a+ε,则有（n-k+1）(a-ε)＜Ak+a[k+1]+……+An＜（n-k+1）(a+ε)
（n-k+1）(a-ε)/n＜（Ak+A[k+1]+……+An）/n＜（n-k+1）(a+ε)/n
整理得｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a+(k-1)(a-ε)/n｜＜ε，取极限得到
｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a｜＜ε

0＜｜(A1+A2+……+An)/n-a｜
=｜(A1+A2+……+A[k-1])/n+(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜ ,
＜｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜+｜(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜
｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜取极限得0，而｜(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜取极限得
｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a｜＜ε，从而有
0＜｜(A1+A2+……+An)/n-a｜＜ε，从而(A1+A2+……+An)/n的极限为a

问题是，如何得出的｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜取极限得0？

Answer 1

当n>N1时，a-ε/2<an<a+ε/2,

a-ε/2<a(N1+1)<a+ε/2,

a-ε/2<a(N1+2)<a+ε/2,

a-ε/2<a(N1+3)<a+ε/2,

......

a-ε/2<a(n)<a+ε/2,

这样的式子共有n-N1个

扩展资料

求极限基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

Answer 2

k是某一个有限的值，并不是无穷，所以A1+A2+……+A[k-1] 是有限值。
而n→∞，有界/无穷=0

Answer 3

｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜<=｜(A1｜+｜A2｜+｜A3｜+……+｜A(K-1)｜<=(K-1)a/n,上式取绝对值后的极限（n为正无穷大）等于0（k为有限值）