Question

已知梯形ABCD中，AD平行BC，AB=CD=6,BC=13.P是BC上的一个动点，∠APQ=∠B，射线PQ交CD或CD的延长线于点Q。

已知梯形ABCD中，AD平行BC，AB=CD=6,BC=13.P是BC上的一个动点，∠APQ=∠B，射线PQ交CD或CD的延长线于点Q。（1）判断△ABP与△PCQ、△ABP与△QPA是否分别一定相似？（2）对于上述判断，如果两个三角形一定相似，请加以证明；如果不一定相似，那么当BP等于多长时，他们就能相似？（3）当PQ交CD的延长线于Q时，设BP=x，DQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域。

Answer 1

(1)在图1、图3中，△ABP与△PCQ相似，△ABP与△QPA不一定相似。

（2）证明：∠APQ=∠B……①

           ∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APQ+∠QPC

           那么有∠QPC=∠BA……②

          结合①②,证得△ABP与△PCQ相似。

     当点Q与点D重合时（如图2所示）,△ABP与△QPA相似。

   此时，有AB/BP=PC/CQ=PC/CD   令BP=x，

    有方程x^2-13x+36=0

    解得x1=4,x2=9

    则当BP=4或9时，△ABP与△QPA相似。

（3）如图3，由（2）得：△ABP与△PCQ相似，有AB/BP=PC/CQ

    即y=1/6(-x^2+13x-36)  (4＜x＜9)