Question

这两种解题方式为什么第一种错了？

Answer 1

根据题意，我们知道f(x) 在x=a处是二阶可导的
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)(x-a)*1/2 + o[(x-a)(x-a)]
[f(x)-f(a)]/(x-a)->f'(a) +f''(a)/2*(x-a)

第一种解法的问题在于，求极限的第二步并不相等
从上面可以看到后面一项是与分子同阶的无穷小量，不能只对分母的一部分去极限

追问

第二步错了么？你是指这个意思么。

第二部中这两个是不等的？

也就是我漏掉了个o(x) 而这个高阶无穷小在式子中不可像在其他条件下一样被忽略。你是这个意思吧

追答

这个式子是相等的没有问题

问题的关键在于，你在分母的局部求取极限，认为[f(x)-f(a)]/(x-a)就是f'(a)
而同时对分子没有取极限，这个过程里你略掉了与分子同阶的无穷小，这就导致了问题

追问

哦哦、原来如此