Question

f(x)=ax^3+bx+c(a不等于0）是奇函数，其图像在（1，f(1)）处的切线与直线6x+y+7=0平行，f'(x)最小值为-12

1.求a,b,c的值
2..求函数f(x）的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值

Answer 1

1.因为f是奇函数
所以f(0)=0 带入得到c=0
所以f(x)=ax^3+bx
对f求导得到f'=3ax^2+b
在x=1 的斜率是:f'(1)=3a+b
因为在点(1,f(1))的切线和 6x+y+7=0 平行,那么 3a+b=-6
因为有f'有最小值,所以二次函数f'开口向上,a>0
且最小值为f'(0)=b=-12

所以a=(-6-b)/3=2
所以f (x)=2x^3-12x

2.f'=6x^2-12 ,令f'=0得到x=正负根号2
当x<负根号2, f'>0,f单调递增
当负根号2<x<正根号2 ,f'<0 ,f单调递减
当x>正根号2,f'>0.f单调递增

在区间[-1,3] 有个极小值 f(根号2)=4根号2-12根号2=-8根号2
而f(-1)=-2+12=10
f(3)=2*27-12*3=18
所以最大值为18 ,最小值为-8根号2

当x