Question

请问16题怎么做？

Answer 1

16.M是AB上的一点，
∴向量CM=xCA+(1-x)CB
=λMP=λ[CA/(|CA|cosA)+CB/(|CB|cosB)],①
CA,CB不共线，可组成一个基，
∴x=λ/(|CA|cosA),1-x=λ/(|CB|cosB),
相加得1=λ[1/(bcosA)+1/(acosB)],
∴λ=abcosAcosB/(acosB+bcosA)=abcosAcosB/c,
代入①，得CM=(1/c)[acosB*CA+bcosA*CB),
∴CM^2=(a^2b^2/c^2)[(cosB)^2+(cosA)^2+2cosAcosBcosC]=c^2/4,
由正弦定理，4（sinAsinB)^2[(cosB)^2+(cosA)^2+2cosAcosBcosC]=(sinC)^4,②
由a^2+b^2=2√2ab得(sinA)^2+(sinB)^2=2√2sinAsinB,
∴1-cos2A+1-cos2B=2√2[cos(A-B)-cos(A+B)],
∴2-2cos(A+B)cos(A-B)=2√2[cos(A-B)+cosC],
∴1+cosCcos(A-B)=√2cos(A-B)+√2cosC,
∴1-√2cosC=(√2-cosC)cos(A-B),
cos(A-B)=(1-√2cosC)/(√2-cosC)=(1-√2x)/(√2-x),其中x=cosC,
2sinAsinB=cos(A-B)+x=(1-x^2)/(√2-x),
(cosA)^2+(cosB)^2=(1/2)[1-cos2A+1-cos2B]=1-cos(A+B)cos(A-B)
=1+x(1-√2x)/(√2-x)=√2(1-x^2)/(√2-x),
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)=-x+(1-√2x)/(√2-x)=(1-2√2x+x^2)/(√2-x),
都代入②，得(1-x^2)^2/(√2-x)^2[√2(1-x^2)/(√2-x)+x(1-2√2x+x^2)/(√2-x)]=(1-x^2)^2,
-1<x<1,
∴√2(1-x^2)+x(1-2√2x+x^2)=(√2-x)^3,
√2 -√2x^2
+x-2√2x^2+x^3
-2√2+6x-3√2x^2+x^3=0,
2x^3-6√2x^2+7x-√2=0，
解得x1=√2/2，x2=(5√2-√34)/4,
∴C=π/4或arccos[(5√2-√34)/4].