求齐次线性方程组,要过程,谢谢 10
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1 1 1 1
3 2 1 0
0 1 2 3
1 2 3 4
第2行,第4行, 加上第1行×-3,-1
1 1 1 1
0 -1 -2 -3
0 1 2 3
0 1 2 3
第1行,第3行,第4行, 加上第2行×1,1,1
1 0 -1 -2
0 -1 -2 -3
0 0 0 0
0 0 0 0
显然秩等于2<4,因此方程组有无穷多组解(有非零解)
(2)
观察上图最后的矩阵
令x2=0,x4=2,解得x3=-3,x1=1
令x2=1,x3=1,解得x4=-1,x1=-1
因此得到基础解系:
(1,0,-3,2)T (-1,1,1,-1)T
因此通解是
k1(1,0,-3,2)T+k2(-1,1,1,-1)T
其中k1,k2是不全为0的常数
呈绅
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本回答由呈绅提供
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设解向量为X(x1,x2,x3)
初等变换之后[-1,1,2]
因为X是3维向量,X的方程组系数矩阵的秩为1,所以基础解系含解个数为3-1=2。
同解方程组是-x1+x2+2*x3=0
通解为
x1=1*k1+2*k2
x2=1*k1+
x3= 1*k2
(k1,k2是任意常数)
于是基础解系就是N1=(1,1,0)T;N2=(2,0,1)T【其实就是k1和k2的系数矩阵。】
你在纸上整齐一点写下来就更清楚了
=========================
【按 -1 1 2,那应该是前两个相反,第三个是前两个的2倍才对啊】
你理解错(-1 1 2)这个向量的意义了
用矩阵的方式写出这个方程组是这样的
[-1 1 2]
[1 -1 -2] [x1 x2 x3]T=0
[1 -1 -2]
初等变换之后
[-1 1 2]
[0 0 0] [x1 x2 x3]T=0
[0 0 0]
把[x1 x2 x3]乘进系数矩阵,有意义的方程就剩下
-x1+x2+2*x3=0
就是x1=x2+2*x3,“第一个的系数”应该是“第二个的系数”加上“第三个的系数”*2
只要把[x1 x2 x3]的关系表示出来就是求得通解了
=========================
用Gauss-Jordan消去法的时候【对角线上的-1】
是当消去成下面形式【矩阵的左上半个矩阵是单位矩阵,矩阵的下面若干行全为0】
1 0 a b
0 1 c d
0 0 0 0
0 0 0 0
的时候添在【全为零的行且在整个矩阵的对角线】上
1 0 a b
0 1 c d
0 0 -1 0
0 0 0 -1
于是基础解系可以从-1所在的列读出。就是N1=(a,c,-1)T,N2=(b,d,-1)T
因为对基础解系作线性变换所得的向量仍然为基础解系
所以N1=(-a,-c,1)T,N2=(-b,-d,1)T也是基础解系
初等变换之后[-1,1,2]
因为X是3维向量,X的方程组系数矩阵的秩为1,所以基础解系含解个数为3-1=2。
同解方程组是-x1+x2+2*x3=0
通解为
x1=1*k1+2*k2
x2=1*k1+
x3= 1*k2
(k1,k2是任意常数)
于是基础解系就是N1=(1,1,0)T;N2=(2,0,1)T【其实就是k1和k2的系数矩阵。】
你在纸上整齐一点写下来就更清楚了
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【按 -1 1 2,那应该是前两个相反,第三个是前两个的2倍才对啊】
你理解错(-1 1 2)这个向量的意义了
用矩阵的方式写出这个方程组是这样的
[-1 1 2]
[1 -1 -2] [x1 x2 x3]T=0
[1 -1 -2]
初等变换之后
[-1 1 2]
[0 0 0] [x1 x2 x3]T=0
[0 0 0]
把[x1 x2 x3]乘进系数矩阵,有意义的方程就剩下
-x1+x2+2*x3=0
就是x1=x2+2*x3,“第一个的系数”应该是“第二个的系数”加上“第三个的系数”*2
只要把[x1 x2 x3]的关系表示出来就是求得通解了
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用Gauss-Jordan消去法的时候【对角线上的-1】
是当消去成下面形式【矩阵的左上半个矩阵是单位矩阵,矩阵的下面若干行全为0】
1 0 a b
0 1 c d
0 0 0 0
0 0 0 0
的时候添在【全为零的行且在整个矩阵的对角线】上
1 0 a b
0 1 c d
0 0 -1 0
0 0 0 -1
于是基础解系可以从-1所在的列读出。就是N1=(a,c,-1)T,N2=(b,d,-1)T
因为对基础解系作线性变换所得的向量仍然为基础解系
所以N1=(-a,-c,1)T,N2=(-b,-d,1)T也是基础解系
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。。。
追问
答案呢…???
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