Question

线性代数，方程个数多于未知数个数，齐次方程解的情况

Answer 1

根据线性方程组有解判别定理，齐次线性方程组中系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，所以齐次线性方程组一定有解（至少有一个零解）。

若齐次线性方程组中方程的个数小于未知数的个数，即系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组有无穷多解（即有非零解）。

如果m<n（行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

Answer 2

齐次线性方程AX=0一定有解，

至少有零解。

m＞n时，还是比较n与r（A）的大小

Answer 3

齐次线性方程个数多于未知数个数
如果系数矩阵秩等于未知数个数，则只有零解（唯一解）
如果系数矩阵秩大于未知数个数（这种情况不可能，因为系数矩阵秩，不可能超过列数、行数的最小值）
如果系数矩阵秩小于未知数个数，则有无穷多组解（有零解、和非零解）