Question

绝对值1/n的敛散性，为什么是收敛的？

Answer 1

当p<=0时，发散，因为这个时候一般项不趋于0；
当p>1时，绝对收敛。当n足够大时，其一般项的绝对值为tan1/n^p-1/n^p（因为当x很小的时候有tanx>x），而lim(tan1/n^p-1/n^p)/(1/n^p)=0（n趋于无穷，罗比塔法则即可），而级数1/n^p收敛，根据比较判别法，原级数绝对收敛。
当0<p<=1时，级数是否绝对收敛还没有判断出来，但收敛是肯定的，因为当n足够大时，tan1/n^p-1/n^p单调递减（求导容易判别单调性），所以原级数为莱布尼茨级数，肯定收敛。
希望能对你有所帮组，至于最后那种情况是否绝对收敛，我要再考虑考虑，如果你有答案的话也请告诉我。