Question

公理集合论的基数

Answer 1

基数概念至为重要。两个集x、y称作是等势若在x与y之间能建立一个一一对应。如果集合x与y等势，则记作x～y。由于AC任一集合x都可以良序化，故有序数α，使得α～x，把这种α中最小的那个序数定义作为集合x的基数，并记作│x│。这样定义的基数│x│仍然是一个集合；而每一集合x都有一个│x│作为x的数量大小的一个刻画；并且如果x～y，则│x│=│y│。
这样定义的基数是序数的一部分：即是不能与小于自己的序数等势的那些序数，也就是所谓初始序数。例如0，1，2，…，ω等都是初始序数，因而都是基数。而ω+1，ω+2，…，ω+ω等都不是初始序数，故都不是基数。所以紧接着基数0,1,2，…，ω的基数是ω1，它也记作堗1。
如果AC不成立，则可利用正则公理来定义任一集合x的基数，记作悯。悯为一集合：。　上述定义系D.S.斯科特于1955年给出的。
在60年代末期A.莱维还证明了在AC与正则公理都不成立的情况下，基数概念是不可定义的。