公理集合论的详细内容
一定要注意的一点：ZF公理系统中，集合的元素都是集合，自然数可用皮亚诺公理系统表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。
ZF公理系统：
(ZF1）外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它举陆族们是相等的。
(ZF2）空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。
(ZF3）无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合悉神z，而当且仅当w=x或者w=y。
注：z = {x, y}, 就是说，如 w∈z, 则 w=x 或 w=y。又名配对公理，取义可由二个集合生成第三个集
合，集合无次序（或说生成的第三个集合无次序），所以叫无序（配）对公理，就一个，如果有次序
就变二个了。
(ZF4）并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。
准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。
(ZF5）幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。
准确的定义：“对任意集合x，存在正弊集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。
(ZF6）无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”
根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。
(ZF7）替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。
(ZF8）正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”
注：（ZF3）可以由其他公理导出，所以有些场合不出现这条公理，与之类似的是“子集公理”。
(AC)选择公理：对任意集c存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元集x，g(x）∈x。
ZF集合公理系统加上AC就成为ZFC公理系统。
注：ZF为Zermelo及Fraenkel
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