Question

急求微分方程y'²＋y²－1＝0也就是(dy/dx)^2+y^2-1=0的通解。

目测至少有如下解：y=sin(x+C),y=+1,y=-1，但却怎么也积不出这些结果

Answer 1

y'² = 1 - y²

y' = √(1-y²) 或 y' = -√(1-y²)

1. 当 y' = √(1-y²) = dy/dx 时：

   dy/√(1-y²) = dx

   方程两边同时积分，可以得到：

   arcsiny = x + C                 注：C 为一常数

   则 y = sin(x+C)

2. 当 y' = -√(1-y²) = dy/dx 时：

   dy/√(1-y²) = -dx

   方程两边同时积分，可以得到：

   arcsiny = -x + C               注：C 为一常数

   则 y = sin(-x + C)

追问

y＝±1好像也是y'²＋y²－1＝0的解，但这个答案解不出来啊

追答

当 ±x + C = 2kπ ± π/2 时，y = ±1 肯定是这个方程的解。
也就是说 y = ±1 只是其中的两个特解而已。