Question

基本不等式求最值

x+2y+2xy=8求x+2y的最小值

Answer 1

本题应为:已知x>0,y>0,且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

可用构造法

解:因为x+2y+2xy=8,所以2y(x+1)+x+1=9

所以(2y+1)(x+1)=9

所以根号[(2y+1)(x+1)]=3

所以x+1+2y+1>=2[(2y+1)(x+1)]=6

所以x+2y>=4(当且仅当x+1=2y+1=3即x=2,y=1时取等号)

所以x+2y的最小值为4

Answer 2

应用公式：a+b≥2√(ab),a>0,b
所以：
x+2y≥2*√2xy时，成立的条件时x=2y
代入 x+2y+2xy=8
由此解得x=2，y=1
x+2y=8-2xy=4

Answer 3

x+2y>=2√(2xy)=2√2*√(xy)
xy<=(x+2y)^2/8
a+b>=2√(ab),a>0,b>0就是这个依据
x+2y=z
8=x+2y+2xy<=z+z^2/4
z^2+4z-32>=0
(z-4)(z+8)>=0
z>=4
z<=-8【z>0,舍去】
x+2y>=4